協恩中學 (Heep Yunn School) 選修 M1 或 M2 的中四學生

數學本是一門有趣的學科,透過將一條複雜的問題分析、拆件和解難的學科。就將偵探一步步抽絲剝繭,將案件裡裡外外透徹分析,表露無遺。香港學習數學的動機、方法全部都以考試為最終目的,由大型補習老師”告訴”學生所有步驟,失去該原意。學生將會欠缺一個正確的思考方法和概念。學生由於飯來將口一般,沒有一種動力去思考,但求老師將Full Solution 送到眼前背誦。正如一位學生所講:「我而家努力讀書,係為左大學唔需要再讀。」變得枯燥和乏味。

過去我只收取中五和中六的學生。Phoebe 和Karen 就讀 協恩中學 (Heep Yunn School),是第一屆升中四收取的學生。她們基礎薄弱,由7月開始,我先替她們補底,將中三所學的Cross Method 和Factorization 重新教一遍,穩固基礎,再開始中四課程。她們很乖,跟足我的指示做練習。而且在考試前亦有完成我們校內所有Quiz,雖然成績未如理想,但也知道她們有用心學習。

12月考試前夕,我早已完成中四上學期的課程,故此在堂上不斷做我們校內Quiz,直至考試前最後一堂。令我感欣慰,她們最終取得不錯成績,甚至有資料選修 M1 或 M2。數學成績首80名才可以選擇。由當初預計自己沒有資格修讀,再到成功選修,作為她們的老師,沒有比這更喜悅的事。


一些在美國讀書的中國孩子在美國中小學“玩算術”是出了名的。

我兒子礦礦在同班的美國小朋友還只會掰手指算簡單加減時,已經會多位數乘除法了。老師問:4+3=?大家還沒反應過來,他就回答道:3+4=21÷3。全班都傻了眼,就他得意洋洋。在我眼裡,美國小學數學太淺顯,整個一個“磨洋工”。一年級時,我借來六年級的數學課本,礦礦一樣應付自如。第一學期結束後,我們向學校提出來,能不能讓礦礦插班到三年級上數學?我心裡想:只要求上三年級,已經很謙虛了。

不久,我們收到礦礦老師的來信(節錄):

關於礦礦的數學學習問題,我已和校長羅伯特博士說過了。她也跟學區主管教學和課程的助理督導邁克威廉斯博士談過了……

附上一年級數學課15個單 元的學習內容和教學目標……我們更強調的是孩子對那些隱藏在數字後面的概念的理解,從而在口頭上和書寫中能夠使用他們所學的東西進行交流;而不是對算術法 則的死記硬背。我們的目標是培養孩子成為解決問題的能手,讓他們學會思考,把自信建立在自己的能力之上,從而去珍視數學。我們的課程是讓孩子積極參與到學習 中,通過循序漸進的、適當的教學活動去學習具體的操作計算。礦礦在中國學校學到的一些算術技巧,例如乘法和除法,對美國一年級小學生來說,不是循序漸進 的、適當的活動。我們運用的是絕對具有乘除法功能的組合法教學,從而使孩子們在記住計算法則之前已能理解乘除法的實際意義。

礦礦當然是一個具有計算技巧的優秀學生,然而,算術僅僅是整個數學課程中的一個部分。我們在數學課裡,會運 用許多教學活動來挑戰礦礦的思維,從而也對他本身形成一種挑戰。

我們覺得:派一個Miami大學的在校生一對一地幫礦礦,將比到三年級上數學更適當。如果你們想借三年級的數學教材在家裡使用,我們將樂意作出安排……


當時讀這封信,很不服氣。13年後,為寫《天賦教育在美國》,重讀此信,卻多了一份思考:

這封信非常講究遣詞造句.比如,在講到礦礦及中國學校時,她始終用“算術”這個概念,而說到美國學校時,她都說“數學”.

所謂“算術”,計算之技術也,似屬雕蟲小技。數學,是關於數的學問,是研究符號和數字之間的關系,以及如何用這些符號和數字來解釋現實中與之有關現像的學問。因此數學是學術極品。

到底美國小學的數學教學是“磨洋工”抑或我們把數學這門大學問當成了計算的技巧呢?

我在潛心研究美國天賦教育時,終於有了感悟.比如,《雞兔同籠》:籠裡有5個頭和14只腳,一共幾只兔幾只雞?在許多人眼裡這完全是個計算問題。設兔為x,雞為y,則x+y=5;4x+2y=14.到底我們該把它看作算術教學,還是數學教學?讓我們來看美國的天賦教育是怎樣處理類似問題的:

某個住在湖邊的老人養有狗和鴨子.某天,老人看到5個頭,14只腳。那麼老人看到的是多少條狗?多少只鴨子?老師問:“能不能找到解決問題的方法?同學們紛紛要求回答問題.學生A:“要找到答案並不難,只要兩個公式,一個解決腳的問題,另一個解決頭的問題……”

老師制止學生A繼續往下講,說道:“很好!誰來設計這兩個公式?”學生B:“設狗有x條,設鴨子有y只,則4x+2y=14。”學生C說道:“x+y=5。”老師問道:“這兩個公式對不對?”

學生七嘴八舌:“對啦!對啦!”老師:“現在我們不要去計算答案。我們按照這兩個公式來推理,看看答案是否合理……”

大家你望著我,我望著你:不讓計算,卻去猜答案,老師的葫蘆裡賣的什麼藥?老師:“犯愁了?不錯!我們現在不打算去計算准確的答案,我們只是去猜測大致的答案。”

 


學生仍然丈二和尚摸不著頭腦……老師:“既然你們不回答,那我就來問你們,5條狗和4只鴨,對不對?”學生轟然:“不對!5條狗和4只鴨,一共是9個頭,老人只看到5個頭。”老師:“那麼,誰能告訴我狗腳和鴨腳的數目?”學生們又是你望著我,我望著你,不知所措……老師:“如果我告訴你們,狗不少於4條,你們認為怎麼樣?”學生B:“不對,請看看我設計的公式,腳的總數是14,而4條狗就有16只腳,除非老人喝醉看花了眼!”下面哄堂大笑!老師:“非常好!那能不能是3條狗呢?”學生們陷入思考……學生C:“那也不對!”老師很感興趣地問:“為什麼?”學生C:“除非有1只鴨子,少了兩只腳。”

“您看我設計的公式,總共有5個頭,3條狗有12條腳,要符合5個頭,14條腿的條件,就只剩兩個鴨頭,兩只鴨腳。因此,除非有1只鴨子少了兩只腳……”又是一陣哄堂大笑!老師:“好吧,讓我們假設所有的狗和鴨子都是進化完整的,沒有缺胳膊少腿的.=。那麼,該有多少只鴨子呢?”學生們再沒有像前面那樣沉默,而是議論紛紛.學生D:“不管怎麼說,前提是不能超過5個頭,14只腳。”老師:“如果狗少於3條,我們能在鴨子的數量上做什麼文章呢?”

學生E:“這就是說,鴨子至少有3只。因為,頭的總數是5個,狗少於3條,所以鴨子沒有3只以上湊不夠5只。”老師:“有道理。狗只能少於3條,鴨子不能少於3只.那麼,我們應該尋找的下一個線索,是什麼呢?”學生們思索……老師:“如果是3只鴨子,鴨腳應該是……”學生們齊答:“6只鴨腳。”老師“:OK,如果是3只鴨子,6只鴨腳,狗的數目又該怎麼算呢?”

學生A:“狗不能多於3條,鴨子至少得有3只才能湊夠5個頭.3只鴨子,鴨腳就是6只、於是,狗只能是2條,狗腳……”

老師高興地大笑:“好!不要往下說了,請大家用公式計算吧。”到了這個地步,再用公式計算,簡直像吃豆腐一樣容易:狗是2條,鴨子是3只。

學生B有些不太高興地說:“老師,看到您那麼高興,我倒有些費解了。這個2條狗,3只鴨的答案,我們推理來推理去,花了快一節課的時間。其實,一開始就讓我們拿公式來算,早就該做完了……”老師一個勁兒地點頭:“你提出了一個非常好的問題,甚至超過了‘2條狗,3只鴨’的答案。請大家想一想,為什麼我們沒有一開始就用公式來計算,而是花了一節課的時間來走完整個推理的過程?”學生E:“我們浪費了不少時間去推論那些不正確的答案。”

學生C:“我不同意‘浪費’的說法。有時候,你不能證實一個答案是錯的,就不能證實另一個答案是對的。”學生F:“但是,值不值得花那麼多時間?”學生們七嘴八舌,議論紛紛。

老師會心地笑了:“謝謝大家!數學課不是算術,更不是用一個似懂非懂的公式去計算一個只有公式才能告訴你的答案。公式告訴你,做什麼?怎麼做?我們充其量像個計算器。要真正理解為什麼這麼做是對的?為什麼那麼做是不對的?問題就不那麼簡單了。就像知道點擊電腦的什麼地方,電腦會怎麼運作一樣,那是電腦操作員的工作.只有理解為什麼點擊電腦的這裡會產生這個動作?為什麼點擊那裡會產生那個動作?才能成為電腦程序員.我們要的是通過演繹推理和歸納推理來證實和證偽某些答案,以及在這個過程中培養和鍛煉推理能力……”

數學不僅僅是計算、測量、應用公式,其實質是一種思維方式,是演繹推理和歸納推理的邏輯思維方式,也是一個充滿變化和新的發現及發明的領域、學數學並不一定是目的,而是通過學數學來培養自己的能力;同時,通過學數學來理解和解釋世界各種現像和關系。
數學是一種思維方式,是訓練思維能力的手段。可在中國人看來,許多同學覺得學數學本身就是目的.。更“俗氣”更“直白”些:學數學是為了中考、高考。難怪,許多理科生談“數”色變,把物理看作“無理”……(作者黃全愈為美國邁阿密大學 亞洲及亞美研究主任。)

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